Математический анализ Примеры

$lim_{t \to \frac{3}{2}} {(4 t^{2} + 8 t - 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1

Вынесем степень $\frac{3}{2}$ в выражении ${(4 t^{2} + 8 t - 5)}^{\frac{3}{2}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{t \to \frac{3}{2}} 4 t^{2} + 8 t - 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\frac{3}{2}$ .

${(lim_{t \to \frac{3}{2}} 4 t^{2} + lim_{t \to \frac{3}{2}} 8 t - lim_{t \to \frac{3}{2}} 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

${(4 lim_{t \to \frac{3}{2}} t^{2} + lim_{t \to \frac{3}{2}} 8 t - lim_{t \to \frac{3}{2}} 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $t^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(4 {(lim_{t \to \frac{3}{2}} t)}^{2} + lim_{t \to \frac{3}{2}} 8 t - lim_{t \to \frac{3}{2}} 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 5

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

${(4 {(lim_{t \to \frac{3}{2}} t)}^{2} + 8 lim_{t \to \frac{3}{2}} t - lim_{t \to \frac{3}{2}} 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\frac{3}{2}$ .

${(4 {(lim_{t \to \frac{3}{2}} t)}^{2} + 8 lim_{t \to \frac{3}{2}} t - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{3}{2}$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $\frac{3}{2}$ для $t$ .

${(4 {(\frac{3}{2})}^{2} + 8 lim_{t \to \frac{3}{2}} t - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $\frac{3}{2}$ для $t$ .

${(4 {(\frac{3}{2})}^{2} + 8 (\frac{3}{2}) - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

${(4 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 8 (\frac{3}{2}) - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

${(4 \frac{9}{2^{2}} + 8 (\frac{3}{2}) - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

${(4 (\frac{9}{4}) + 8 (\frac{3}{2}) - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Сократим общий множитель.

${(4 (\frac{9}{4}) + 8 (\frac{3}{2}) - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.1.4.2

Перепишем это выражение.

${(9 + 8 (\frac{3}{2}) - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

${(9 + 2 (4) \frac{3}{2} - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.1.5.2

Сократим общий множитель.

${(9 + 2 \cdot 4 \frac{3}{2} - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.1.5.3

Перепишем это выражение.

${(9 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.1.6

Умножим $4$ на $3$ .

${(9 + 12 - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.1.7

Умножим $- 1$ на $5$ .

${(9 + 12 - 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.2

Добавим $9$ и $12$ .

${(21 - 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3

Вычтем $5$ из $21$ .

$16^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

${(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.5

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 8.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Сократим общий множитель.

$4^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 8.6.2

Перепишем это выражение.

$4^{3}$

Этап 8.7

Возведем $4$ в степень $3$ .

$64$