Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{\ln (2 + 3 e^{x})}$

Этап 1

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln (2 + 3 e^{x})}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$6 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} \ln (2 + 3 e^{x})}$

Этап 2.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$6 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (2 + 3 e^{x})}$

Этап 2.1.3

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$6 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$6 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln (2 + 3 e^{x})} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 + 3 e^{x})]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 + 3 e^{x})]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (2 + 3 e^{x})]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 + 3 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 + 3 e^{x}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 + 3 e^{x}]}$

Этап 2.3.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 + 3 e^{x}]}$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 + 3 e^{x}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} \frac{d}{d x} [2 + 3 e^{x}]}$

Этап 2.3.4

По правилу суммы производная $2 + 3 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}])}$

Этап 2.3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}])}$

Этап 2.3.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} \frac{d}{d x} [3 e^{x}]}$

Этап 2.3.7

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} \cdot 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 2.3.8

Объединим $3$ и $\frac{1}{2 + 3 e^{x}}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3}{2 + 3 e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 2.3.9

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3}{2 + 3 e^{x}} e^{x}}$

Этап 2.3.10

Объединим $\frac{3}{2 + 3 e^{x}}$ и $e^{x}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 e^{x}}{2 + 3 e^{x}}}$

Этап 2.3.11

Изменим порядок членов.

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 e^{x}}{3 e^{x} + 2}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$6 lim_{x \to \infty} 1 \frac{3 e^{x} + 2}{3 e^{x}}$

Этап 2.5

Умножим $\frac{3 e^{x} + 2}{3 e^{x}}$ на $1$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 2}{3 e^{x}}$

Этап 3

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 2}{e^{x}}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} + 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 4.1.2.2

Поскольку функция $e^{x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $3$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $3$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 4.1.2.2.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 4.1.2.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty + 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 4.1.2.4

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 4.1.3

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty}{\infty}$

Этап 4.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty}{\infty}$

Этап 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 2}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $3 e^{x} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 4.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 4.3.3.2

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 4.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 4.3.5

Добавим $3 e^{x}$ и $0$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 4.3.6

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{e^{x}}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{e^{x}}$

Этап 4.4.2

Разделим $3$ на $1$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} 3$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \cdot 3$

Этап 5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3} \cdot 3$

Этап 5.2.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} \cdot 3$

Этап 5.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 3$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$6$