Математический анализ Примеры

$lim_{s \to 8} \frac{(\frac{1}{8}) - (\frac{1}{8})}{s - 8}$

Этап 1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{s \to 8} \frac{\frac{1 - 1}{8}}{s - 8}$

Этап 1.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$lim_{s \to 8} \frac{\frac{0}{8}}{s - 8}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $0$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $8$ из $0$ .

$lim_{s \to 8} \frac{\frac{8 (0)}{8}}{s - 8}$

Этап 1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$lim_{s \to 8} \frac{\frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}}{s - 8}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{s \to 8} \frac{\frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}}{s - 8}$

Этап 1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{s \to 8} \frac{\frac{0}{1}}{s - 8}$

Этап 1.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$lim_{s \to 8} \frac{0}{s - 8}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{s \to 8} 0}{lim_{s \to 8} s - 8}$

Этап 2.1.2

Найдем предел $0$ , который является константой по мере приближения $s$ к $8$ .

$\frac{0}{lim_{s \to 8} s - 8}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $s$ к $8$ .

$\frac{0}{lim_{s \to 8} s - lim_{s \to 8} 8}$

Этап 2.1.3.1.2

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $s$ к $8$ .

$\frac{0}{lim_{s \to 8} s - 1 \cdot 8}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $s$ , подставив значение $8$ для $s$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{0}{8 - 8}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{s \to 8} \frac{0}{s - 8} = lim_{s \to 8} \frac{\frac{d}{d s} [0]}{\frac{d}{d s} [s - 8]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{s \to 8} \frac{\frac{d}{d s} [0]}{\frac{d}{d s} [s - 8]}$

Этап 2.3.2

Поскольку $0$ является константой относительно $s$ , производная $0$ относительно $s$ равна $0$ .

$lim_{s \to 8} \frac{0}{\frac{d}{d s} [s - 8]}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $s - 8$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 8]$ .

$lim_{s \to 8} \frac{0}{\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 8]}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{s \to 8} \frac{0}{1 + \frac{d}{d s} [- 8]}$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 8$ является константой относительно $s$ , производная $- 8$ относительно $s$ равна $0$ .

$lim_{s \to 8} \frac{0}{1 + 0}$

Этап 2.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{s \to 8} \frac{0}{1}$

Этап 2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$lim_{s \to 8} 0$

Этап 3

Найдем предел $0$ , который является константой по мере приближения $s$ к $8$ .

$0$