Математический анализ Примеры

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

Этап 1.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

Этап 1.1.3

Когда $n$ стремится к $\infty$ для радикалов, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ имеет вид $n \cdot n^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Этап 1.3.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{n}$ в виде $n^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [n^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ имеет вид $n \cdot n^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1}}$

Этап 1.3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 1.3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Этап 1.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Этап 1.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 2}{2}}}$

Этап 1.3.8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{- 1}{2}}}$

Этап 1.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 1.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.10.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 n^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{n \to \infty} 1 (2 n^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.5

Перепишем $n^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{n}$ .

$lim_{n \to \infty} 1 (2 \sqrt{n})$

Этап 1.6

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{n \to \infty} 2 \sqrt{n}$

Этап 2

Поскольку функция $\sqrt{n}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $2$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $2$ .

$lim_{n \to \infty} \sqrt{n}$

Этап 2.2

Когда $n$ стремится к $\infty$ для радикалов, значение стремится к $\infty$ .

$\infty$