Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{16 x^{2}}{5 + 49 x^{2}}}}{2}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{16 x^{2}}{5 + 49 x^{2}}}}{2}$

Этап 2

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{16 lim_{x \to 8} \frac{x^{2}}{5 + 49 x^{2}}}}{2}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 5 + 49 x^{2}}}}{2}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{16 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 5 + 49 x^{2}}}}{2}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 5 + lim_{x \to 8} 49 x^{2}}}}{2}$

Этап 6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{5 + lim_{x \to 8} 49 x^{2}}}}{2}$

Этап 7

Вынесем член $49$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{5 + 49 lim_{x \to 8} x^{2}}}}{2}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{16 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{5 + 49 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}}{2}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{8^{2}}{5 + 49 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}}{2}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{8^{2}}{5 + 49 \cdot 8^{2}}}}{2}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{64}{5 + 49 \cdot 8^{2}}}}{2}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{64}{5 + 49 \cdot 64}}}{2}$

Этап 10.2.2

Умножим $49$ на $64$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{64}{5 + 3136}}}{2}$

Этап 10.2.3

Добавим $5$ и $3136$ .

$\frac{\sqrt{16 (\frac{64}{3141})}}{2}$

Этап 10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $16$ и $\frac{64}{3141}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{16 \cdot 64}{3141}}}{2}$

Этап 10.3.2

Умножим $16$ на $64$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1024}{3141}}}{2}$

Этап 10.3.3

Перепишем $\sqrt{\frac{1024}{3141}}$ в виде $\frac{\sqrt{1024}}{\sqrt{3141}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1024}}{\sqrt{3141}}}{2}$

Этап 10.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.4.1

Перепишем $1024$ в виде $32^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{32^{2}}}{\sqrt{3141}}}{2}$

Этап 10.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\frac{32}{\sqrt{3141}}}{2}$

Этап 10.3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.5.1

Перепишем $3141$ в виде $3^{2} \cdot 349$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.5.1.1

Вынесем множитель $9$ из $3141$ .

$\frac{\frac{32}{\sqrt{9 (349)}}}{2}$

Этап 10.3.5.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\frac{32}{\sqrt{3^{2} \cdot 349}}}{2}$

Этап 10.3.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\frac{32}{3 \sqrt{349}}}{2}$

Этап 10.3.6

Умножим $\frac{32}{3 \sqrt{349}}$ на $\frac{\sqrt{349}}{\sqrt{349}}$ .

$\frac{\frac{32}{3 \sqrt{349}} \cdot \frac{\sqrt{349}}{\sqrt{349}}}{2}$

Этап 10.3.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.7.1

Умножим $\frac{32}{3 \sqrt{349}}$ на $\frac{\sqrt{349}}{\sqrt{349}}$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 \sqrt{349} \sqrt{349}}}{2}$

Этап 10.3.7.2

Перенесем $\sqrt{349}$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 (\sqrt{349} \sqrt{349})}}{2}$

Этап 10.3.7.3

Возведем $\sqrt{349}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 ({\sqrt{349}}^{1} \sqrt{349})}}{2}$

Этап 10.3.7.4

Возведем $\sqrt{349}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 ({\sqrt{349}}^{1} {\sqrt{349}}^{1})}}{2}$

Этап 10.3.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 {\sqrt{349}}^{1 + 1}}}{2}$

Этап 10.3.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 {\sqrt{349}}^{2}}}{2}$

Этап 10.3.7.7

Перепишем ${\sqrt{349}}^{2}$ в виде $349$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.7.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{349}$ в виде $349^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 {(349^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Этап 10.3.7.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 \cdot 349^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Этап 10.3.7.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 \cdot 349^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Этап 10.3.7.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.7.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 \cdot 349^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Этап 10.3.7.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 \cdot 349^{1}}}{2}$

Этап 10.3.7.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 \cdot 349}}{2}$

Этап 10.3.8

Умножим $3$ на $349$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{1047}}{2}$

Этап 10.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{32 \sqrt{349}}{1047} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 10.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $2$ из $32 \sqrt{349}$ .

$\frac{2 (16 \sqrt{349})}{1047} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 10.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (16 \sqrt{349})}{1047} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 10.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{16 \sqrt{349}}{1047}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{16 \sqrt{349}}{1047}$

Десятичная форма:

$0.28548678 \dots$