Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{5}{3}} - lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x^{\frac{5}{3}} - lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 3

Вынесем степень $\frac{5}{3}$ в выражении $x^{\frac{5}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{5}{3}} - lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 4

Вынесем степень $\frac{1}{3}$ в выражении $x^{\frac{1}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{5}{3}} - {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 5

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{5}{3}} - {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{5}{3}} - {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{5}{3}} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{5}{3}} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 7.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{5}{3})} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 7.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{5}{3})} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 7.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot 2^{5} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 7.1.4

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{2 \cdot 32 - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 7.1.5

Умножим $2$ на $32$ .

$\frac{64 - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 7.1.6

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{64 - {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 7.1.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 - 2^{3 (\frac{1}{3})} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 7.1.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{64 - 2^{3 (\frac{1}{3})} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 7.1.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{64 - 2^{1} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 7.1.9

Найдем экспоненту.

$\frac{64 - 1 \cdot 2 + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 7.1.10

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{64 - 2 + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 7.1.11

Вычтем $2$ из $64$ .

$\frac{62 + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 7.1.12

Добавим $62$ и $7$ .

$\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Этап 7.2

Умножим $\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$ на $\frac{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}$ .

$\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}} \cdot \frac{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}$

Этап 7.3

Умножим $\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$ на $\frac{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{(x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}) (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}$

Этап 7.4

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{x^{\frac{16}{5}} + x^{\frac{8}{5}} \cdot 3 - x^{\frac{21}{10}} + 3 x^{\frac{8}{5}} + 9 - 3 \sqrt{x} + x^{\frac{21}{10}} + \sqrt{x} \cdot 3 - {\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 7.5

Упростим.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{x^{\frac{16}{5}} + 6 x^{\frac{8}{5}} + 9 - x}$

Этап 7.6

Изменим порядок членов.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- x + 6 x^{\frac{8}{5}} + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Этап 7.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x) + 6 x^{\frac{8}{5}} + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Этап 7.8

Вынесем множитель $- 1$ из $6 x^{\frac{8}{5}}$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x) - (- 6 x^{\frac{8}{5}}) + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Этап 7.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (- 6 x^{\frac{8}{5}})$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}}) + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Этап 7.10

Вынесем множитель $- 1$ из $x^{\frac{16}{5}}$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}}) - 1 (- x^{\frac{16}{5}}) + 9}$

Этап 7.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x - 6 x^{\frac{8}{5}}) - 1 (- x^{\frac{16}{5}})$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}}) + 9}$

Этап 7.12

Перепишем $9$ в виде $- 1 (- 9)$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}}) - 1 (- 9)}$

Этап 7.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}}) - 1 (- 9)$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)}$

Этап 7.14

Перепишем $- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)$ в виде $- 1 (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- 1 (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)}$

Этап 7.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9}$