Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}} - x$

Этап 1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}} - x$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x \cdot x - 2 x}} - x$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2}} - x$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}} - x$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}}$ на $\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)}} - x$

Этап 2.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}}$ на $\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)}}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)} \sqrt{x (x - 2)}} - x$

Этап 2.1.3.2

Возведем $\sqrt{x (x - 2)}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{1} \sqrt{x (x - 2)}} - x$

Этап 2.1.3.3

Возведем $\sqrt{x (x - 2)}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{1} {\sqrt{x (x - 2)}}^{1}} - x$

Этап 2.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{1 + 1}} - x$

Этап 2.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{2}} - x$

Этап 2.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{x (x - 2)}}^{2}$ в виде $x (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x (x - 2)}$ в виде ${(x (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{({(x (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - x$

Этап 2.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - x$

Этап 2.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{\frac{2}{2}}} - x$

Этап 2.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{\frac{2}{2}}} - x$

Этап 2.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{1}} - x$

Этап 2.1.3.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{x (x - 2)} - x$

Этап 2.2

Чтобы записать $- x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{x (x - 2)} - x \cdot \frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$

Этап 2.3

Объединим $- x$ и $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{x (x - 2)} + \frac{- x (x (x - 2))}{x (x - 2)}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x (x (x - 2))}{x (x - 2)}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - (x \cdot x) (x - 2)}{x (x - 2)}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{2} (x - 2)}{x (x - 2)}$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{2} x - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Этап 2.5.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Этап 2.5.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Этап 2.5.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Этап 2.5.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{3} - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Этап 2.5.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{3} + 2 x^{2}}{x (x - 2)}$