Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 7} x + \sqrt{x - 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} \sqrt{x - 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 4

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$\frac{lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $7$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{7 + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{7 + \sqrt{7 - 1 \cdot 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{7 + \sqrt{7 - 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 6.1.2

Вычтем $6$ из $7$ .

$\frac{7 + \sqrt{1}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 6.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{7 + 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 6.1.4

Добавим $7$ и $1$ .

$\frac{8}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 6.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{8}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Этап 6.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 6.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{8}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Этап 6.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{8}{{(x - 1)}^{2}}$