Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 6} x^{2} \cdot (2 x) - 48}{x^{2} - 36}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} x^{2} \cdot (2 x) - lim_{x \to 6} 48}{x^{2} - 36}$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 6} x^{2} x - lim_{x \to 6} 48}{x^{2} - 36}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{2 lim_{x \to 6} x^{2} \cdot lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 48}{x^{2} - 36}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 48}{x^{2} - 36}$

Этап 5

Найдем предел $48$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 6} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 48}{x^{2} - 36}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $6$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 6^{2} \cdot lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 48}{x^{2} - 36}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 6^{2} \cdot 6 - 1 \cdot 48}{x^{2} - 36}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $6^{2}$ на $6$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Перенесем $6$ .

$\frac{2 \cdot (6 \cdot 6^{2}) - 1 \cdot 48}{x^{2} - 36}$

Этап 7.1.1.2

Умножим $6$ на $6^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Возведем $6$ в степень $1$ .

$\frac{2 \cdot (6^{1} \cdot 6^{2}) - 1 \cdot 48}{x^{2} - 36}$

Этап 7.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \cdot 6^{1 + 2} - 1 \cdot 48}{x^{2} - 36}$

Этап 7.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 \cdot 6^{3} - 1 \cdot 48}{x^{2} - 36}$

Этап 7.1.2

Возведем $6$ в степень $3$ .

$\frac{2 \cdot 216 - 1 \cdot 48}{x^{2} - 36}$

Этап 7.1.3

Умножим $2$ на $216$ .

$\frac{432 - 1 \cdot 48}{x^{2} - 36}$

Этап 7.1.4

Умножим $- 1$ на $48$ .

$\frac{432 - 48}{x^{2} - 36}$

Этап 7.1.5

Вычтем $48$ из $432$ .

$\frac{384}{x^{2} - 36}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{384}{x^{2} - 6^{2}}$

Этап 7.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 6$ .

$\frac{384}{(x + 6) (x - 6)}$