Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x} - \sqrt[9]{x}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[9]{x}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[9]{x}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[9]{lim_{x \to - 8} x}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 8} - \sqrt[9]{lim_{x \to - 8} x}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 8} - \sqrt[9]{- 8}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} - \sqrt[9]{- 8}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{- 2 - \sqrt[9]{- 8}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.3

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 1)}^{9} \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$\frac{- 2 - \sqrt[9]{- 1 (8)}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.3.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{9}$ .

$\frac{- 2 - \sqrt[9]{{(- 1)}^{9} \cdot 8}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{- 2 - (- 1 \sqrt[9]{8})}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.5

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{- 2 - (- 1 \sqrt[9]{2^{3}})}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.6

Перепишем $\sqrt[9]{2^{3}}$ в виде $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2^{3}}}$ .

$\frac{- 2 - (- 1 \sqrt[3]{\sqrt[3]{2^{3}}})}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{- 2 - (- 1 \sqrt[3]{2})}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.8

Перепишем $- 1 \sqrt[3]{2}$ в виде $- \sqrt[3]{2}$ .

$\frac{- 2 - - \sqrt[3]{2}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.9

Умножим $- - \sqrt[3]{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 + 1 \sqrt[3]{2}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.9.2

Умножим $\sqrt[3]{2}$ на $1$ .

$\frac{- 2 + \sqrt[3]{2}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 + \sqrt[3]{2}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[9]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{9}}$ .

$\frac{- 2 + \sqrt[3]{2}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{9}}}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{9}}$ из $3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{9}}$ из $3 \cdot x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (3 \cdot x^{\frac{2}{9}}) + x^{\frac{1}{9}}}$

Этап 5.2.3.2

Умножим на $1$ .

$\frac{- 2 + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (3 \cdot x^{\frac{2}{9}}) + x^{\frac{1}{9}} \cdot 1}$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{9}}$ из $x^{\frac{1}{9}} (3 \cdot x^{\frac{2}{9}}) + x^{\frac{1}{9}} \cdot 1$ .

$\frac{- 2 + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (3 \cdot x^{\frac{2}{9}} + 1)}$

$\frac{- 2 + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (3 x^{\frac{2}{9}} + 1)}$

Этап 5.3

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (2) + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (3 x^{\frac{2}{9}} + 1)}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt[3]{2}$ .

$\frac{- 1 (2) - 1 (- \sqrt[3]{2})}{x^{\frac{1}{9}} (3 x^{\frac{2}{9}} + 1)}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - 1 (- \sqrt[3]{2})$ .

$\frac{- 1 (2 - \sqrt[3]{2})}{x^{\frac{1}{9}} (3 x^{\frac{2}{9}} + 1)}$

Этап 5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 - \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (3 x^{\frac{2}{9}} + 1)}$