Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 21 x + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 21 x + lim_{x \to 3} 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 21 x + lim_{x \to 3} 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 21 x + lim_{x \to 3} 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 4

Вынесем член $21$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 21 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 5

Найдем предел $45$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 21 lim_{x \to 3} x + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 21 lim_{x \to 3} x + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{3} + 3^{2} - 21 lim_{x \to 3} x + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{3} + 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{27 + 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 7.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{27 + 9 - 21 \cdot 3 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 7.1.3

Умножим $- 21$ на $3$ .

$\frac{27 + 9 - 63 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 7.1.4

Добавим $27$ и $9$ .

$\frac{36 - 63 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 7.1.5

Вычтем $63$ из $36$ .

$\frac{- 27 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 7.1.6

Добавим $- 27$ и $45$ .

$\frac{18}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{18}{x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 7.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{18}{x \cdot x^{2} + x (6 x) + 9 x}$

Этап 7.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $9 x$ .

$\frac{18}{x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9}$

Этап 7.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (6 x)$ .

$\frac{18}{x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9}$

Этап 7.2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9$ .

$\frac{18}{x (x^{2} + 6 x + 9)}$

Этап 7.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{18}{x (x^{2} + 6 x + 3^{2})}$

Этап 7.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 7.2.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{18}{x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}$

Этап 7.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{18}{x {(x + 3)}^{2}}$