Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Этап 1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Этап 1.3

Найдем предел $\sqrt{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\sqrt{2}$ из $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Этап 3.2

Развернем $(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.3

Объединим противоположные члены в $\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Изменим порядок множителей в членах $\sqrt{x} \sqrt{2}$ и $- \sqrt{2} \sqrt{x}$ .

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.3.2

Вычтем $\sqrt{2} \sqrt{x}$ из $\sqrt{2} \sqrt{x}$ .

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + 0 - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $\sqrt{x} \sqrt{x}$ и $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.1.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1 + 1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.2

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{0}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{0}{x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{x^{1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.5

Упростим.

$\frac{0}{x - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.3

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{0}{x - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 3.4.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{0}{x - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 3.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{0}{x - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{0}{x - {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.4.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{0}{x - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{x - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{0}{x - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{x - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{x - 2^{1}}$

Этап 3.4.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{0}{x - 1 \cdot 2}$

Этап 3.4.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{x - 2}$

Этап 3.5

Разделим $0$ на $x - 2$ .

$0$