Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} - 3 x} - 2}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} - 3 x} - lim_{x \to 4} 2}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x} - lim_{x \to 4} 2}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 3 x} - lim_{x \to 4} 2}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 3 x} - lim_{x \to 4} 2}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} - 3 lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} - 3 \cdot 4} - 1 \cdot 2}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 3 \cdot 4} - 1 \cdot 2}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 8.1.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\frac{\sqrt{16 - 12} - 1 \cdot 2}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 8.1.3

Вычтем $12$ из $16$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 8.1.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 8.1.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 8.1.7

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 8.2

Разделим $0$ на $5 - \sqrt{x^{2} + 9}$ .

$0$