Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + 15 x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Этап 4

Вынесем член $15$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Этап 5

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 5^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 5^{2} + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 25 + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Этап 7.1.2

Умножим $2$ на $25$ .

$\frac{50 + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Этап 7.1.3

Умножим $15$ на $5$ .

$\frac{50 + 75 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Этап 7.1.4

Добавим $50$ и $75$ .

$\frac{125 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Этап 7.1.5

Добавим $125$ и $25$ .

$\frac{150}{5 - 4 x - x^{2}}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Запишем $5$ как $9$ плюс $- 4$

$\frac{150}{9 - 4 - 4 x - x^{2}}$

Этап 7.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{150}{9 - (2^{2} + 4 x + x^{2})}$

Этап 7.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$

Этап 7.2.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{150}{9 - (2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x + x^{2})}$

Этап 7.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$\frac{150}{9 - {(2 + x)}^{2}}$

Этап 7.2.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{150}{3^{2} - {(2 + x)}^{2}}$

Этап 7.2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = 2 + x$ .

$\frac{150}{(3 + 2 + x) (3 - (2 + x))}$

Этап 7.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{150}{(5 + x) (3 - (2 + x))}$

Этап 7.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{150}{(5 + x) (3 - 1 \cdot 2 - x)}$

Этап 7.2.5.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{150}{(5 + x) (3 - 2 - x)}$

Этап 7.2.5.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{150}{(5 + x) (1 - x)}$