Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + lim_{x \to 2} 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1.4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $2$ на $2^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Умножим $2$ на $2^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2^{1} \cdot 2^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 3.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2^{1 + 3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 3.1.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{\sqrt{2^{4} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 3.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 3.1.3

Добавим $16$ и $4$ .

$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 3.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 3.3.2

Возведем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 3.3.3

Возведем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1}}$

Этап 3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 3.3.6

Перепишем ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ в виде $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Этап 3.3.6.5

Упростим.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Этап 3.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{(x^{2} + 1) \cdot 5}}{x^{2} + 1}$

Этап 3.5

Перенесем $5$ влево от $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \sqrt{5 (x^{2} + 1)}}{x^{2} + 1}$