Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 2 x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 2 x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 6

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{3} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{8 - 2 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 8.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{8 - 2 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 8.1.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{8 - 8 - 4 \cdot 2 + 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 8.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{8 - 8 - 8 + 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 8.1.5

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{0 - 8 + 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 8.1.6

Вычтем $8$ из $0$ .

$\frac{- 8 + 8}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 8.1.7

Добавим $- 8$ и $8$ .

$\frac{0}{x^{4} - 8 x^{2} - x + 16}$

Этап 8.2

Разделим $0$ на $x^{4} - 8 x^{2} - x + 16$ .

$0$