Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 2} x (2 x^{2} - 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x \cdot lim_{x \to 2} 2 x^{2} - 8}{x^{2} - 4 x - 12}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x \cdot (lim_{x \to 2} 2 x^{2} - lim_{x \to 2} 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x \cdot (2 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{x \to 2} x \cdot (2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Этап 5

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x \cdot (2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot (2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot (2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{2 \cdot (2^{1} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Этап 7.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \cdot (2^{1 + 2} - 1 \cdot 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Этап 7.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 \cdot (2^{3} - 1 \cdot 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Этап 7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{2 (8 - 1 \cdot 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Этап 7.2.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{2 (8 - 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Этап 7.2.3

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{2 \cdot 0}{x^{2} - 4 x - 12}$

Этап 7.3

Разложим $x^{2} - 4 x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 4$ .

$- 6, 2$

Этап 7.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2 \cdot 0}{(x - 6) (x + 2)}$

Этап 7.4

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{(x - 6) (x + 2)}$

Этап 7.5

Разделим $0$ на $(x - 6) (x + 2)$ .

$0$