Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 3} (x^{2} + 2 x - 15) \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} + 2 x - 15 \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{(lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Этап 5

Найдем предел $15$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (lim_{x \to 3} 9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (lim_{x \to 3} 9 - lim_{x \to 3} 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Этап 8

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - lim_{x \to 3} 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Этап 9

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 lim_{x \to 3} x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{(3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 lim_{x \to 3} x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{(3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 lim_{x \to 3} x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{(3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $\tan (2 x - 6)$ из $\tan^{2} (2 x - 6)$ .

$\frac{(3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\tan (2 x - 6) \tan (2 x - 6)}$

Этап 11.2

Разделим дроби.

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\tan (2 x - 6)}$

Этап 11.3

Выразим $\tan (2 x - 6)$ через синусы и косинусы.

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\frac{\sin (2 x - 6)}{\cos (2 x - 6)}}$

Этап 11.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (2 x - 6)}{\cos (2 x - 6)}$ .

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} (\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)})$

Этап 11.5

Запишем $\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} (\frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{1} \cdot \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)})$

Этап 11.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Разделим $\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)$ на $1$ .

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} (\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)})$

Этап 11.6.2

Объединим $\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)$ и $\frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$ .

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Этап 11.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{9 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Этап 11.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{9 + 6 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Этап 11.7.3

Умножим $- 1$ на $15$ .

$\frac{9 + 6 - 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Этап 11.7.4

Добавим $9$ и $6$ .

$\frac{15 - 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Этап 11.7.5

Вычтем $15$ из $15$ .

$\frac{0}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Этап 11.8

Выразим $\tan (2 x - 6)$ через синусы и косинусы.

$\frac{0}{\frac{\sin (2 x - 6)}{\cos (2 x - 6)}} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Этап 11.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$0 \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)} \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Этап 11.10

Умножим $0$ на $\frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$ .

$0 \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Этап 11.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.1

Умножим $- 1 \cdot 3 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$0 \frac{\sin (9 - 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Этап 11.11.1.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$0 \frac{\sin (9 - 9) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Этап 11.11.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$0 \frac{\sin (0) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Этап 11.11.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 \frac{0 \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Этап 11.12

Умножим $0$ на $\cos (2 x - 6)$ .

$0 \frac{0}{\sin (2 x - 6)}$

Этап 11.13

Разделим $0$ на $\sin (2 x - 6)$ .

$0 \cdot 0$

Этап 11.14

Умножим $0$ на $0$ .

$0$