Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 25} 2 x}{\sqrt{625 - x^{2}}}$

Этап 1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 25} x}{\sqrt{625 - x^{2}}}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $25$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 25}{\sqrt{625 - x^{2}}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $2$ на $25$ .

$\frac{50}{\sqrt{625 - x^{2}}}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $625$ в виде $25^{2}$ .

$\frac{50}{\sqrt{25^{2} - x^{2}}}$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 25$ и $b = x$ .

$\frac{50}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$

Этап 3.3

Умножим $\frac{50}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$ .

$\frac{50}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$

Этап 3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{50}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)} \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$

Этап 3.4.2

Возведем $\sqrt{(25 + x) (25 - x)}$ в степень $1$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{1} \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$

Этап 3.4.3

Возведем $\sqrt{(25 + x) (25 - x)}$ в степень $1$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{1} {\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{1}}$

Этап 3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{2}}$

Этап 3.4.6

Перепишем ${\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{2}$ в виде $(25 + x) (25 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(25 + x) (25 - x)}$ в виде ${((25 + x) (25 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{({((25 + x) (25 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{((25 + x) (25 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{((25 + x) (25 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{((25 + x) (25 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{((25 + x) (25 - x))}^{1}}$

Этап 3.4.6.5

Упростим.

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{(25 + x) (25 - x)}$