Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 2 x - 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Этап 4

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Этап 6.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 + 4 - 1 \cdot 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{4 + 4 - 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Этап 6.1.4

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{8 - 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Этап 6.1.5

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{x + 5 - (x + 1)}$

Этап 6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0}{x + 5 - x - 1 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{x + 5 - x - 1}$

Этап 6.2.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0}{0 + 5 - 1}$

Этап 6.2.5

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{0}{5 - 1}$

Этап 6.2.6

Вычтем $1$ из $5$ .

$\frac{0}{4}$

Этап 6.3

Разделим $0$ на $4$ .

$0$