Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 1} \frac{1}{x + 8} - \frac{1}{9}}{x - 1}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \frac{1}{x + 8} - lim_{x \to 1} \frac{1}{9}}{x - 1}$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x + 8} - lim_{x \to 1} \frac{1}{9}}{x - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 1} x + 8} - lim_{x \to 1} \frac{1}{9}}{x - 1}$

Этап 1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 8} - lim_{x \to 1} \frac{1}{9}}{x - 1}$

Этап 1.5

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 1} x + 8} - lim_{x \to 1} \frac{1}{9}}{x - 1}$

Этап 1.6

Найдем предел $\frac{1}{9}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 1} x + 8} - \frac{1}{9}}{x - 1}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{1 + 8} - \frac{1}{9}}{x - 1}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(1 + 8) \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\frac{1}{1 + 8} - \frac{1}{9}}{x - 1}$ на $\frac{(1 + 8) \cdot 9}{(1 + 8) \cdot 9}$ .

$\frac{(1 + 8) \cdot 9}{(1 + 8) \cdot 9} \cdot \frac{\frac{1}{1 + 8} - \frac{1}{9}}{x - 1}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{(1 + 8) \cdot 9 (\frac{1}{1 + 8} - \frac{1}{9})}{(1 + 8) \cdot 9 (x - 1)}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(1 + 8) \cdot 9 \frac{1}{1 + 8} + (1 + 8) \cdot 9 (- \frac{1}{9})}{(1 + 8) \cdot 9 x + (1 + 8) \cdot 9 \cdot - 1}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $1 + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $1 + 8$ из $(1 + 8) \cdot 9$ .

$\frac{(1 + 8) (9) \frac{1}{1 + 8} + (1 + 8) \cdot 9 (- \frac{1}{9})}{(1 + 8) \cdot 9 x + (1 + 8) \cdot 9 \cdot - 1}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + 8) \cdot 9 \frac{1}{1 + 8} + (1 + 8) \cdot 9 (- \frac{1}{9})}{(1 + 8) \cdot 9 x + (1 + 8) \cdot 9 \cdot - 1}$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9 + (1 + 8) \cdot 9 (- \frac{1}{9})}{(1 + 8) \cdot 9 x + (1 + 8) \cdot 9 \cdot - 1}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{9}$ в числитель.

$\frac{9 + (1 + 8) \cdot 9 \frac{- 1}{9}}{(1 + 8) \cdot 9 x + (1 + 8) \cdot 9 \cdot - 1}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $9$ из $(1 + 8) \cdot 9$ .

$\frac{9 + 9 \cdot (1 + 8) \frac{- 1}{9}}{(1 + 8) \cdot 9 x + (1 + 8) \cdot 9 \cdot - 1}$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{9 + 9 \cdot (1 + 8) \frac{- 1}{9}}{(1 + 8) \cdot 9 x + (1 + 8) \cdot 9 \cdot - 1}$

Этап 3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{9 + (1 + 8) \cdot - 1}{(1 + 8) \cdot 9 x + (1 + 8) \cdot 9 \cdot - 1}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $8$ .

$\frac{9 + 9 \cdot - 1}{(1 + 8) \cdot 9 x + (1 + 8) \cdot 9 \cdot - 1}$

Этап 3.4.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{9 - 9}{(1 + 8) \cdot 9 x + (1 + 8) \cdot 9 \cdot - 1}$

Этап 3.4.3

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{(1 + 8) \cdot 9 x + (1 + 8) \cdot 9 \cdot - 1}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $(1 + 8) \cdot 9$ из $(1 + 8) \cdot 9 x + (1 + 8) \cdot 9 \cdot - 1$ .

$\frac{0}{(1 + 8) \cdot 9 (x - 1)}$

Этап 3.5.2

Добавим $1$ и $8$ .

$\frac{0}{9 \cdot 9 (x - 1)}$

Этап 3.5.3

Умножим $9$ на $9$ .

$\frac{0}{81 (x - 1)}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $0$ и $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $81$ из $0$ .

$\frac{81 (0)}{81 (x - 1)}$

Этап 3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{81 \cdot 0}{81 (x - 1)}$

Этап 3.6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{x - 1}$

Этап 3.7

Разделим $0$ на $x - 1$ .

$0$