Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{1 + x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} 1 + x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Этап 1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + lim_{x \to 1} x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Этап 1.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt[3]{1 + {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 1^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\sqrt[3]{1 + 1}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Этап 3.1.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{1^{3} - x^{3}}}$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})}}$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})}}$

Этап 3.2.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}$

Этап 3.3

Умножим $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$

Этап 3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$

Этап 3.4.2

Возведем $\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{1} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$

Этап 3.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{3}}$

Этап 3.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{3}$ в виде $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$ в виде ${((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{({((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{1}}$

Этап 3.4.5.5

Упростим.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 3.5.2

Применим правило умножения к $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Этап 3.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt[3]{2 {(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$