Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Этап 2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} - 1^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} - 1^{2} + 1 - 1 \cdot 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1^{2} + 1 - 1 \cdot 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Этап 6.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 1 - 1 \cdot 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 - 1 \cdot 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Этап 6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 - 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Этап 6.1.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + 1 - 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Этап 6.1.6

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Этап 6.1.7

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{x^{4} - x^{3} - 2 x + 2}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{0}{(x^{4} - x^{3}) - 2 x + 2}$

Этап 6.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{0}{x^{3} (x - 1) - 2 (x - 1)}$

Этап 6.2.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$\frac{0}{(x - 1) (x^{3} - 2)}$

Этап 6.3

Разделим $0$ на $(x - 1) (x^{3} - 2)$ .

$0$