Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 1} x^{x} - 1}{\ln (x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{x} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $x^{x}$ в виде $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{lim_{x \to 1} e^{\ln (x^{x})} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Этап 2.2

Развернем $\ln (x^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Этап 3.3

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Этап 3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{e^{1 \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{e^{1 \cdot \ln (1)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $1 \cdot \ln (1)$ путем переноса $1$ под логарифм.

$\frac{e^{\ln (1^{1})} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Этап 5.1.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{1^{1} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Этап 5.1.3

Найдем экспоненту.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Этап 5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{\ln (x)}$

Этап 5.1.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{\ln (x)}$

Этап 5.2

Разделим $0$ на $\ln (x)$ .

$0$