Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0.00001} {(\sin (x))}^{x}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\sin (x))}^{x}$ в виде $e^{\ln ({(\sin (x))}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0.00001} e^{\ln ({(\sin (x))}^{x})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\sin (x))}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$lim_{x \to 0.00001} e^{x \ln (\sin (x))}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0.00001} x \ln (\sin (x))}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0.00001$ .

$e^{lim_{x \to 0.00001} x \cdot lim_{x \to 0.00001} \ln (\sin (x))}$

Этап 2.3

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{lim_{x \to 0.00001} x \cdot \ln (lim_{x \to 0.00001} \sin (x))}$

Этап 2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{lim_{x \to 0.00001} x \cdot \ln (\sin (lim_{x \to 0.00001} x))}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0.00001$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0.00001$ для $x$ .

$e^{0.00001 \cdot \ln (\sin (lim_{x \to 0.00001} x))}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0.00001$ для $x$ .

$e^{0.00001 \cdot \ln (\sin (0.00001))}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $0.00001 \cdot \ln (\sin (0.00001))$ путем переноса $0.00001$ под логарифм.

$e^{\ln (\sin^{0.00001} (0.00001))}$

Этап 4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\sin^{0.00001} (0.00001)$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sin^{0.00001} (0.00001)$

Десятичная форма:

$0.99984440 \dots$