Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}}{x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{1}{x - 1} + lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1}}{x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x - 1} + lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1}}{x}$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} x - 1} + lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1}}{x}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1} + lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1}}{x}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1} + lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1}}{x}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1} + \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 1}}{x}$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1} + \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1}}{x}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1} + \frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}}{x}$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1} + \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1}}{x}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{0 - 1 \cdot 1} + \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1}}{x}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{0 - 1 \cdot 1} + \frac{1}{0 + 1}}{x}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{0 - 1} + \frac{1}{0 + 1}}{x}$

Этап 11.1.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{\frac{1}{- 1} + \frac{1}{0 + 1}}{x}$

Этап 11.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{\frac{1}{- 1} + \frac{1}{1}}{x}$

Этап 11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{1}{- 1} + \frac{1}{- 1 (- 1)}}{x}$

Этап 11.3.2

Перенесем знак минус из знаменателя $\frac{1}{- 1 (- 1)}$ в числитель.

$\frac{\frac{1}{- 1} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 1}}{x}$

Этап 11.3.3

Чтобы записать $\frac{1}{- 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{\frac{1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 1}}{x}$

Этап 11.3.4

Чтобы записать $\frac{- 1 \cdot 1}{- 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{\frac{1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}}{x}$

Этап 11.3.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $1$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1

Умножим $\frac{1}{- 1}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{\frac{- 1}{- - 1} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}}{x}$

Этап 11.3.5.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- 1}{1} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}}{x}$

Этап 11.3.5.3

Умножим $\frac{- 1 \cdot 1}{- 1}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{\frac{- 1}{1} + \frac{- 1 \cdot - 1}{- - 1}}{x}$

Этап 11.3.5.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- 1}{1} + \frac{- 1 \cdot - 1}{1}}{x}$

Этап 11.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 1 - 1 \cdot - 1}{1}}{x}$

Этап 11.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- 1 + 1}{1}}{x}$

Этап 11.3.7.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{\frac{0}{1}}{x}$

Этап 11.3.8

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{0}{x}$

Этап 11.4

Разделим $0$ на $x$ .

$0$