Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3} - x}{x^{3} - 4 x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} x}{x^{3} - 4 x}$

Этап 2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} x}{x^{3} - 4 x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{3} - lim_{x \to 0} x}{x^{3} - 4 x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{3} + 0}{x^{3} - 4 x}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 + 0}{x^{3} - 4 x}$

Этап 4.1.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{x^{3} - 4 x}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{0}{x \cdot x^{2} - 4 x}$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$\frac{0}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4}$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$\frac{0}{x (x^{2} - 4)}$

Этап 4.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{0}{x (x^{2} - 2^{2})}$

Этап 4.2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{0}{x (x + 2) (x - 2)}$

Этап 4.3

Разделим $0$ на $x (x + 2) (x - 2)$ .

$0$