Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} {(x - t)}^{2} - x^{2}}{t}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(x - t)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{2}}{t}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x - t)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x - t)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{2}}{t}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} t)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{2}}{t}$

Этап 4

Найдем предел $t$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x - t)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{2}}{t}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x - t)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{t}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{{(0 - t)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{t}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{{(0 - t)}^{2} - 0^{2}}{t}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 0 - t$ и $b = 0$ .

$\frac{(0 - t + 0) (0 - t + 0)}{t}$

Этап 7.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Добавим $0 - t$ и $0$ .

$\frac{(0 - t) (0 - t + 0)}{t}$

Этап 7.1.2.2

Вычтем $t$ из $0$ .

$\frac{- t (0 - t + 0)}{t}$

Этап 7.1.2.3

Добавим $0 - t$ и $0$ .

$\frac{- t (0 - t)}{t}$

Этап 7.1.2.4

Вычтем $t$ из $0$ .

$\frac{- t \cdot - 1 t}{t}$

Этап 7.1.2.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (t \cdot - 1 t)}{t}$

Этап 7.1.2.5.2

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{- - (t^{1} t)}{t}$

Этап 7.1.2.5.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{- - (t^{1} t^{1})}{t}$

Этап 7.1.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- - t^{1 + 1}}{t}$

Этап 7.1.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- - t^{2}}{t}$

Этап 7.1.2.5.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 t^{2}}{t}$

Этап 7.1.2.5.7

Умножим $t^{2}$ на $1$ .

$\frac{t^{2}}{t}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $t^{2}$ и $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t}{t}$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t \cdot t}{t^{1}}$

Этап 7.2.2.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$\frac{t \cdot t}{t \cdot 1}$

Этап 7.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{t \cdot t}{t \cdot 1}$

Этап 7.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{t}{1}$

Этап 7.2.2.5

Разделим $t$ на $1$ .

$t$