Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + lim_{x \to 0} 1}{x \csc (x)}$

Этап 2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (x)$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \csc (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ - 0.1 & 1.00166861 \\ - 0.01 & 1.00001666 \\ - 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $x \csc (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $1$ .

$1$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (x)$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \csc (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ 0.1 & 1.00166861 \\ 0.01 & 1.00001666 \\ 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $x \csc (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $1$ .

$\frac{1 + 1}{x \csc (x)}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{x \csc (x)}$

Этап 9.2

Разделим дроби.

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

Этап 9.3

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 9.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{x} (1 \sin (x))$

Этап 9.5

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{2}{x} \sin (x)$

Этап 9.6

Объединим $\frac{2}{x}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{x}$