Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cot (5 x)}{x \cot (4 x)}$

Этап 1

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (3 x) \cot (5 x)$

Этап 2

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (3 x) \cot (5 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \sin (3 x) \cot (5 x) \\ - 0.1 & 0.5409461 \\ - 0.01 & 0.59940999 \\ - 0.001 & 0.5999941 \\ - 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

Этап 3

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.6$ . Таким образом, предел $\sin (3 x) \cot (5 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $0.6$ .

$0.6$

Этап 4

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (3 x) \cot (5 x)$

Этап 5

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (3 x) \cot (5 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \sin (3 x) \cot (5 x) \\ 0.1 & 0.5409461 \\ 0.01 & 0.59940999 \\ 0.001 & 0.5999941 \\ 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

Этап 6

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.6$ . Таким образом, предел $\sin (3 x) \cot (5 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0.6$ .

$\frac{0.6}{x \cot (4 x)}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим дроби.

$\frac{0.6}{x} \cdot \frac{1}{\cot (4 x)}$

Этап 7.2

Выразим $\cot (4 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{0.6}{x} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}}$

Этап 7.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}$ .

$\frac{0.6}{x} \cdot \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$

Этап 7.4

Переведем $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ в $\tan (4 x)$ .

$\frac{0.6}{x} \tan (4 x)$

Этап 7.5

Объединим $\frac{0.6}{x}$ и $\tan (4 x)$ .

$\frac{0.6 \tan (4 x)}{x}$