Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} 3 \cos (2 x) - 3}{2 x \cos (2 x)}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 \cos (2 x) - lim_{x \to 0} 3}{2 x \cos (2 x)}$

Этап 1.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} \cos (2 x) - lim_{x \to 0} 3}{2 x \cos (2 x)}$

Этап 1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 3}{2 x \cos (2 x)}$

Этап 1.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 \cos (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3}{2 x \cos (2 x)}$

Этап 1.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{3 \cos (2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 3}{2 x \cos (2 x)}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3 \cos (2 \cdot 0) - 1 \cdot 3}{2 x \cos (2 x)}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{3 \cos (0) - 1 \cdot 3}{2 x \cos (2 x)}$

Этап 3.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{2 x \cos (2 x)}$

Этап 3.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{2 x \cos (2 x)}$

Этап 3.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 - 3}{2 x \cos (2 x)}$

Этап 3.1.5

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{2 x \cos (2 x)}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{2 (0)}{2 x \cos (2 x)}$

Этап 3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x \cos (2 x)$ .

$\frac{2 (0)}{2 (x \cos (2 x))}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 0}{2 (x \cos (2 x))}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{x \cos (2 x)}$

Этап 3.3

Разделим дроби.

$\frac{0}{x} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Этап 3.4

Переведем $\frac{1}{\cos (2 x)}$ в $\sec (2 x)$ .

$\frac{0}{x} \sec (2 x)$

Этап 3.5

Разделим $0$ на $x$ .

$0 \sec (2 x)$

Этап 3.6

Умножим $0$ на $\sec (2 x)$ .

$0$