Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x} - 1 - \frac{x}{2}}{x^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \frac{x}{2}}{x^{2}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \frac{x}{2}}{x^{2}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \frac{x}{2}}{x^{2}}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \frac{x}{2}}{x^{2}}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} \frac{x}{2}}{x^{2}}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - \frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}{x^{2}}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 1 - \frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}{x^{2}}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0}{x^{2}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - 1 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0}{x^{2}}$

Этап 8.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0}{x^{2}}$

Этап 8.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 - \frac{1}{2} \cdot 0}{x^{2}}$

Этап 8.1.4

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 0 (\frac{1}{2})}{x^{2}}$

Этап 8.1.4.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{x^{2}}$

Этап 8.1.5

Добавим $1 - 1$ и $0$ .

$\frac{1 - 1}{x^{2}}$

Этап 8.1.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{x^{2}}$

Этап 8.2

Разделим $0$ на $x^{2}$ .

$0$