Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + \sin (x)} - \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + \sin (x)} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + \sin (x)} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sin (x)} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} \sin (x)} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sqrt{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - \sin (x)}}{x}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin (x)}}{x}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)} - \sqrt{1 - lim_{x \to 0} \sin (x)}}{x}$

Этап 9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sqrt{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)} - \sqrt{1 - \sin (lim_{x \to 0} x)}}{x}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + \sin (0)} - \sqrt{1 - \sin (lim_{x \to 0} x)}}{x}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + \sin (0)} - \sqrt{1 - \sin (0)}}{x}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 - \sin (0)}}{x}$

Этап 11.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{1 - \sin (0)}}{x}$

Этап 11.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 - \sin (0)}}{x}$

Этап 11.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 - 0}}{x}$

Этап 11.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 + 0}}{x}$

Этап 11.1.6

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{x}$

Этап 11.1.7

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x}$

Этап 11.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{x}$

Этап 11.1.9

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{x}$

Этап 11.2

Разделим $0$ на $x$ .

$0$