Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{1}{x}$

Этап 1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{1}{x}$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $\frac{1}{x \sqrt{1 + x}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}} - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим $\frac{1}{x \sqrt{1 + x}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}} - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.2.2

Перенесем $\sqrt{1 + x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x (\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x})} - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.2.3

Возведем $\sqrt{1 + x}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x ({\sqrt{1 + x}}^{1} \sqrt{1 + x})} - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.2.4

Возведем $\sqrt{1 + x}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x ({\sqrt{1 + x}}^{1} {\sqrt{1 + x}}^{1})} - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1}} - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {\sqrt{1 + x}}^{2}} - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.2.7

Перепишем ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ в виде $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x}$ в виде ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {(1 + x)}^{1}} - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.2.7.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x (1 + x)} - \frac{1}{x}$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x (1 + x)} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1 + x}{1 + x}$

Этап 2.3

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x (1 + x)} - \frac{1 + x}{x (1 + x)}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{1 + x} - (1 + x)}{x (1 + x)}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x}$ в виде ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - (1 + x)}{x (1 + x)}$

Этап 2.5.2

Перепишем $1 + x$ в виде ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x (1 + x)}$

Этап 2.5.3

Пусть $u = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$\frac{u - u^{2}}{x (1 + x)}$

Этап 2.5.4

Вынесем множитель $u$ из $u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{u^{1} - u^{2}}{x (1 + x)}$

Этап 2.5.4.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$\frac{u \cdot 1 - u^{2}}{x (1 + x)}$

Этап 2.5.4.3

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$\frac{u \cdot 1 + u (- u)}{x (1 + x)}$

Этап 2.5.4.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$\frac{u (1 - u)}{x (1 + x)}$

Этап 2.5.5

Заменим все вхождения $u$ на ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}{x (1 + x)}$

Этап 2.6

Перенесем ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x (1 + x) {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 2.7

Умножим $1 + x$ на ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Перенесем ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x ({(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} (1 + x))}$

Этап 2.7.2

Умножим ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ на $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Возведем $1 + x$ в степень $1$ .

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x ({(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + x)}^{1})}$

Этап 2.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 + x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}$

Этап 2.7.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 + x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 2.7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 + x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}$

Этап 2.7.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$