Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{1}{3}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{3}$ для $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{3}$ для $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3^{2}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7.1.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 + 2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7.1.7

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{3}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7.1.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7.1.9

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7.1.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7.1.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.11.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\frac{3 - 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7.1.11.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{\frac{0}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7.1.12

Разделим $0$ на $3$ .

$\frac{0}{9 x^{2} - 1}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1}$

Этап 7.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}$

Этап 7.2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 x$ и $b = 1$ .

$\frac{0}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Этап 7.3

Разделим $0$ на $(3 x + 1) (3 x - 1)$ .

$0$