Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} + x^{4}}{x^{6} - x^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x^{4}}{x^{6} - x^{2}}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x^{4}}{x^{6} - x^{2}}$

Этап 3

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + {(lim_{x \to 0} x)}^{4}}{x^{6} - x^{2}}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2} + {(lim_{x \to 0} x)}^{4}}{x^{6} - x^{2}}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2} + 0^{4}}{x^{6} - x^{2}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 + 0^{4}}{x^{6} - x^{2}}$

Этап 5.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 + 0}{x^{6} - x^{2}}$

Этап 5.1.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{x^{6} - x^{2}}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$\frac{0}{x^{2} x^{4} - x^{2}}$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{0}{x^{2} x^{4} + x^{2} \cdot - 1}$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{4} + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{0}{x^{2} (x^{4} - 1)}$

Этап 5.2.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{0}{x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 1)}$

Этап 5.2.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{0}{x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 1^{2})}$

Этап 5.2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 1$ .

$\frac{0}{x^{2} ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}$

Этап 5.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{0}{x^{2} ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}$

Этап 5.2.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{0}{x^{2} ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}$

$\frac{0}{x^{2} (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.3

Разделим $0$ на $x^{2} (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$0$