Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} 3 {(x + h)}^{2} - 3 x^{2}}{h}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 {(x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Этап 2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x + h)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Этап 5

Найдем предел $h$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Этап 6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - 3 lim_{x \to 0} x^{2}}{h}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{h}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3 {(0 + h)}^{2} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{h}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3 {(0 + h)}^{2} - 3 \cdot 0^{2}}{h}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(0 + h)}^{2} - 3 \cdot 0^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(0 + h)}^{2}$ .

$\frac{3 ({(0 + h)}^{2}) - 3 \cdot 0^{2}}{h}$

Этап 9.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \cdot 0^{2}$ .

$\frac{3 ({(0 + h)}^{2}) + 3 (- 0^{2})}{h}$

Этап 9.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 ({(0 + h)}^{2}) + 3 (- 0^{2})$ .

$\frac{3 ({(0 + h)}^{2} - 0^{2})}{h}$

Этап 9.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 0 + h$ и $b = 0$ .

$\frac{3 ((0 + h + 0) (0 + h + 0))}{h}$

Этап 9.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Добавим $0 + h$ и $0$ .

$\frac{3 ((0 + h) (0 + h + 0))}{h}$

Этап 9.1.3.2

Добавим $0$ и $h$ .

$\frac{3 (h (0 + h + 0))}{h}$

Этап 9.1.3.3

Добавим $0 + h$ и $0$ .

$\frac{3 (h (0 + h))}{h}$

Этап 9.1.3.4

Добавим $0$ и $h$ .

$\frac{3 (h \cdot h)}{h}$

$\frac{3 h \cdot h}{h}$

Этап 9.1.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{3 (h^{1} h)}{h}$

Этап 9.1.4.2

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{3 (h^{1} h^{1})}{h}$

Этап 9.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 h^{1 + 1}}{h}$

Этап 9.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 h^{2}}{h}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $h^{2}$ и $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $h$ из $3 h^{2}$ .

$\frac{h (3 h)}{h}$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{h (3 h)}{h^{1}}$

Этап 9.2.2.2

Вынесем множитель $h$ из $h^{1}$ .

$\frac{h (3 h)}{h \cdot 1}$

Этап 9.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h (3 h)}{h \cdot 1}$

Этап 9.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3 h}{1}$

Этап 9.2.2.5

Разделим $3 h$ на $1$ .

$3 h$