Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{h \to o} {(7 + h)}^{3} - 343}{h}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $o$ .

$\frac{lim_{h \to o} {(7 + h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Этап 1.2

Вынесем степень $3$ в выражении ${(7 + h)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{h \to o} 7 + h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Этап 1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $o$ .

$\frac{{(lim_{h \to o} 7 + lim_{h \to o} h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Этап 1.4

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $h$ к $o$ .

$\frac{{(7 + lim_{h \to o} h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Этап 1.5

Найдем предел $343$ , который является константой по мере приближения $h$ к $o$ .

$\frac{{(7 + lim_{h \to o} h)}^{3} - 1 \cdot 343}{h}$

Этап 2

Найдем предел $h$ , подставив значение $o$ для $h$ .

$\frac{{(7 + o)}^{3} - 1 \cdot 343}{h}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $343$ в виде $7^{3}$ .

$\frac{{(7 + o)}^{3} - 7^{3}}{h}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 7 + o$ и $b = 7$ .

$\frac{(7 + o - 7) ({(7 + o)}^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $7$ из $7$ .

$\frac{(o + 0) ({(7 + o)}^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Этап 3.3.2

Добавим $o$ и $0$ .

$\frac{o ({(7 + o)}^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Этап 3.3.3

Перепишем ${(7 + o)}^{2}$ в виде $(7 + o) (7 + o)$ .

$\frac{o ((7 + o) (7 + o) + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Этап 3.3.4

Развернем $(7 + o) (7 + o)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{o (7 (7 + o) + o (7 + o) + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Этап 3.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{o (7 \cdot 7 + 7 o + o (7 + o) + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Этап 3.3.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{o (7 \cdot 7 + 7 o + o \cdot 7 + o \cdot o + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Этап 3.3.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.1

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{o (49 + 7 o + o \cdot 7 + o \cdot o + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Этап 3.3.5.1.2

Перенесем $7$ влево от $o$ .

$\frac{o (49 + 7 o + 7 \cdot o + o \cdot o + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Этап 3.3.5.1.3

Умножим $o$ на $o$ .

$\frac{o (49 + 7 o + 7 o + o^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Этап 3.3.5.2

Добавим $7 o$ и $7 o$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Этап 3.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 7 \cdot 7 + o \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Этап 3.3.7

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 49 + o \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Этап 3.3.8

Перенесем $7$ влево от $o$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 49 + 7 \cdot o + 7^{2})}{h}$

Этап 3.3.9

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 49 + 7 o + 49)}{h}$

Этап 3.3.10

Добавим $49$ и $49$ .

$\frac{o (14 o + o^{2} + 98 + 7 o + 49)}{h}$

Этап 3.3.11

Добавим $14 o$ и $7 o$ .

$\frac{o (21 o + o^{2} + 98 + 49)}{h}$

Этап 3.3.12

Добавим $98$ и $49$ .

$\frac{o (21 o + o^{2} + 147)}{h}$

Этап 3.3.13

Изменим порядок членов.

$\frac{o (o^{2} + 21 o + 147)}{h}$