Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{h \to 8} 3 h + 2 x h^{2} + x^{2} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $8$ .

$\frac{lim_{h \to 8} 3 h + lim_{h \to 8} 2 x h^{2} + lim_{h \to 8} x^{2} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{3 lim_{h \to 8} h + lim_{h \to 8} 2 x h^{2} + lim_{h \to 8} x^{2} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 3

Вынесем член $2 x$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{3 lim_{h \to 8} h + 2 x lim_{h \to 8} h^{2} + lim_{h \to 8} x^{2} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 lim_{h \to 8} h + 2 x {(lim_{h \to 8} h)}^{2} + lim_{h \to 8} x^{2} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 5

Вынесем член $x^{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{3 lim_{h \to 8} h + 2 x {(lim_{h \to 8} h)}^{2} + x^{2} lim_{h \to 8} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 6

Вынесем степень $3$ в выражении $h^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 lim_{h \to 8} h + 2 x {(lim_{h \to 8} h)}^{2} + x^{2} {(lim_{h \to 8} h)}^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $8$ для $h$ .

$\frac{3 \cdot 8 + 2 x {(lim_{h \to 8} h)}^{2} + x^{2} {(lim_{h \to 8} h)}^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 7.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $8$ для $h$ .

$\frac{3 \cdot 8 + 2 x \cdot 8^{2} + x^{2} {(lim_{h \to 8} h)}^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 7.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $8$ для $h$ .

$\frac{3 \cdot 8 + 2 x \cdot 8^{2} + x^{2} \cdot 8^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{24 + 2 x \cdot 8^{2} + x^{2} \cdot 8^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 8.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{24 + 2 x \cdot 64 + x^{2} \cdot 8^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 8.3

Умножим $64$ на $2$ .

$\frac{24 + 128 x + x^{2} \cdot 8^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 8.4

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{24 + 128 x + x^{2} \cdot 512}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 8.5

Перенесем $512$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{24 + 128 x + 512 \cdot x^{2}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 8.6

Вынесем множитель $8$ из $24 + 128 x + 512 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$\frac{8 (3) + 128 x + 512 x^{2}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 8.6.2

Вынесем множитель $8$ из $128 x$ .

$\frac{8 (3) + 8 (16 x) + 512 x^{2}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 8.6.3

Вынесем множитель $8$ из $512 x^{2}$ .

$\frac{8 (3) + 8 (16 x) + 8 (64 x^{2})}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 8.6.4

Вынесем множитель $8$ из $8 (3) + 8 (16 x)$ .

$\frac{8 (3 + 16 x) + 8 (64 x^{2})}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

Этап 8.6.5

Вынесем множитель $8$ из $8 (3 + 16 x) + 8 (64 x^{2})$ .

$\frac{8 (3 + 16 x + 64 x^{2})}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$