Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 3.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 3.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{n + 1}}$ на $\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{n + 1}} \cdot \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{n + 1}}$ на $\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} \sqrt{n + 1}}$

Этап 3.3.2

Возведем $\sqrt{n + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1} \sqrt{n + 1}}$

Этап 3.3.3

Возведем $\sqrt{n + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1} {\sqrt{n + 1}}^{1}}$

Этап 3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{2}}$

Этап 3.3.6

Перепишем ${\sqrt{n + 1}}^{2}$ в виде $n + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{n + 1}$ в виде ${(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{n + 1}}{{({(n + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{1}}$

Этап 3.3.6.5

Упростим.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{n + 1}}{n + 1}$

Этап 3.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{(n + 1) \cdot 2}}{n + 1}$

Этап 3.5

Перенесем $2$ влево от $n + 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 (n + 1)}}{n + 1}$