Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{n \to 8} 4^{n} - 2^{n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 4^{n} - lim_{n \to 8} 2^{n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{4^{lim_{n \to 8} n} - lim_{n \to 8} 2^{n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{4^{lim_{n \to 8} n} - 2^{lim_{n \to 8} n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{4^{8} - 2^{lim_{n \to 8} n}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Этап 4.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{4^{8} - 2^{8}}{2 (4^{n}) - 2^{n}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $4$ в степень $8$ .

$\frac{65536 - 2^{8}}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Этап 5.1.2

Возведем $2$ в степень $8$ .

$\frac{65536 - 1 \cdot 256}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Этап 5.1.3

Умножим $- 1$ на $256$ .

$\frac{65536 - 256}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Этап 5.1.4

Вычтем $256$ из $65536$ .

$\frac{65280}{2 \cdot 4^{n} - 2^{n}}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $4^{n}$ в виде ${(2^{2})}^{n}$ .

$\frac{65280}{2 \cdot {(2^{2})}^{n} - 2^{n}}$

Этап 5.2.2

Перепишем ${(2^{2})}^{n}$ в виде ${(2^{n})}^{2}$ .

$\frac{65280}{2 \cdot {(2^{n})}^{2} - 2^{n}}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $u$ из $2 u^{2} - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $u$ из $2 u^{2}$ .

$\frac{65280}{u (2 u) - u}$

Этап 5.2.3.2

Вынесем множитель $u$ из $- u$ .

$\frac{65280}{u (2 u) + u \cdot - 1}$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $u$ из $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$\frac{65280}{u (2 u - 1)}$

Этап 5.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $2^{n}$ .

$\frac{65280}{2^{n} (2 \cdot 2^{n} - 1)}$

Этап 5.2.5

Умножим $2$ на $2^{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{65280}{2^{n} (2^{1} \cdot 2^{n} - 1)}$

Этап 5.2.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{65280}{2^{n} (2^{1 + n} - 1)}$