Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - 1}{(2 x) + 1}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{(2 x) + 1}$

Этап 1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{(2 x) + 1}$

Этап 1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{(2 x) + 1}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}{(2 x) + 1}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}{2 x + 1}$

Этап 3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{1}{2^{2}} - 1 \cdot 1}{2 x + 1}$

Этап 3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} - 1 \cdot 1}{2 x + 1}$

Этап 3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} - 1}{2 x + 1}$

Этап 3.1.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}{2 x + 1}$

Этап 3.1.6

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}{2 x + 1}$

Этап 3.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}{2 x + 1}$

Этап 3.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{\frac{1 - 4}{4}}{2 x + 1}$

Этап 3.1.8.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{\frac{- 3}{4}}{2 x + 1}$

Этап 3.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{3}{4}}{2 x + 1}$

Этап 3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 x + 1}$

Этап 3.3

Умножим $\frac{1}{2 x + 1}$ на $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{(2 x + 1) \cdot 4}$

Этап 3.4

Перенесем $4$ влево от $2 x + 1$ .

$- \frac{3}{4 (2 x + 1)}$