Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x \sin (x) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

Этап 5

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $\frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π}{x - \frac{π}{2}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π}{x - \frac{π}{2}}$

Этап 7.1.2

Объединим.

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π)}{2 (x - \frac{π}{2})}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x + 2 (- \frac{π}{2})}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x + 2 \frac{- π}{2}}$

Этап 7.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x + 2 \frac{- π}{2}}$

Этап 7.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x - π}$

Этап 7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

Этап 7.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (2) \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

Этап 7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

Этап 7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 π \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

Этап 7.4.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{2 π \cdot 1 + 2 (- π)}{2 x - π}$

Этап 7.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 π + 2 (- π)}{2 x - π}$

Этап 7.4.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 π - 2 π}{2 x - π}$

Этап 7.4.6

Вычтем $2 π$ из $2 π$ .

$\frac{0}{2 x - π}$

Этап 7.5

Разделим $0$ на $2 x - π$ .

$0$