Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{\tan (x - 1)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{\tan (x - 1)}$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{\tan (x - 1)}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\tan (x - 1)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{4}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\tan (x - 1)}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{\tan (x - 1)}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{\tan (x - 1)}$

Этап 5.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\tan (x - 1)}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{\tan (x - 1)}$

Этап 5.1.4

Перепишем $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вычтем $\sqrt{2}$ из $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{\tan (x - 1)}$

Этап 5.1.4.2

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{0}{\tan (x - 1)}$

Этап 5.2

Выразим $\tan (x - 1)$ через синусы и косинусы.

$\frac{0}{\frac{\sin (x - 1)}{\cos (x - 1)}}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$0 \frac{\cos (x - 1)}{\sin (x - 1)}$

Этап 5.4

Умножим $0$ на $\frac{\cos (x - 1)}{\sin (x - 1)}$ .

$0$