Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Этап 1.2

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{8 lim_{h \to 0} {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Этап 1.3

Вынесем степень $8$ в выражении ${(\frac{1}{2} + h)}^{8}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{8 {(lim_{h \to 0} \frac{1}{2} + h)}^{8} - lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Этап 1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{8 {(lim_{h \to 0} \frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{8} - lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Этап 1.5

Найдем предел $\frac{1}{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{8 {(\frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{8} - lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Этап 1.6

Найдем предел $8 {(\frac{1}{2})}^{8}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{8 {(\frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{8} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Этап 2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{8 {(\frac{1}{2} + 0)}^{8} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{8 {(\frac{1}{2})}^{8} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Этап 3.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8 \frac{1^{8}}{2^{8}} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Этап 3.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{8 \frac{1}{2^{8}} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Этап 3.1.4

Возведем $2$ в степень $8$ .

$\frac{8 (\frac{1}{256}) - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Этап 3.1.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Вынесем множитель $8$ из $256$ .

$\frac{8 \frac{1}{8 (32)} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Этап 3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \frac{1}{8 \cdot 32} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Этап 3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{32} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Этап 3.1.6

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{32} - 8 \frac{1^{8}}{2^{8}}}{h}$

Этап 3.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{1}{32} - 8 \frac{1}{2^{8}}}{h}$

Этап 3.1.8

Возведем $2$ в степень $8$ .

$\frac{\frac{1}{32} - 8 (\frac{1}{256})}{h}$

Этап 3.1.9

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$\frac{\frac{1}{32} + 8 (- 1) \frac{1}{256}}{h}$

Этап 3.1.9.2

Вынесем множитель $8$ из $256$ .

$\frac{\frac{1}{32} + 8 \cdot - 1 \frac{1}{8 \cdot 32}}{h}$

Этап 3.1.9.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{1}{32} + 8 \cdot - 1 \frac{1}{8 \cdot 32}}{h}$

Этап 3.1.9.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{32} - 1 (\frac{1}{32})}{h}$

Этап 3.1.10

Перепишем $- 1 (\frac{1}{32})$ в виде $- (\frac{1}{32})$ .

$\frac{\frac{1}{32} - (\frac{1}{32})}{h}$

Этап 3.1.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 - 1}{32}}{h}$

Этап 3.1.12

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{\frac{0}{32}}{h}$

Этап 3.1.13

Разделим $0$ на $32$ .

$\frac{0}{h}$

Этап 3.2

Разделим $0$ на $h$ .

$0$