Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{\sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 2.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1} \sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 2.1.2.2

Возведем $\sqrt{x + h + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{1} \sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 2.1.2.3

Возведем $\sqrt{x + h + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{1} {\sqrt{x + h + 1}}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 2.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 2.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 2.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{x + h + 1}}^{2}$ в виде $x + h + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + h + 1}$ в виде ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{({(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 2.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 2.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 2.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 2.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 2.1.2.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}})$

Этап 2.1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Этап 2.1.4.2

Возведем $\sqrt{x + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

Этап 2.1.4.3

Возведем $\sqrt{x + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

Этап 2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

Этап 2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

Этап 2.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ в виде $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

Этап 2.1.4.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

Этап 2.3

Чтобы записать $- \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h + 1) (x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ на $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{\sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{\sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1) - \sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} \cdot 1 - \sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Этап 2.6.2

Умножим $\sqrt{x + h + 1}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1} x - \sqrt{x + 1} h - \sqrt{x + 1} \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Этап 2.6.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1} x - \sqrt{x + 1} h - \sqrt{x + 1}}{(x + 1) (x + h + 1)}$