Математический анализ Примеры

$lim_{t \to \infty} 24 - \frac{16 t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} 24 - lim_{t \to \infty} \frac{16 t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

Этап 1.2

Найдем предел $24$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$24 - lim_{t \to \infty} \frac{16 t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

Этап 1.3

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$24 - 16 lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $t$ в наибольшей степени в знаменателе.

$24 - 16 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}}}{{(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $t^{2}$ .

$24 - 16 lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$24 - 16 \frac{lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} {(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

Этап 3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$24 - 16 \frac{1}{lim_{t \to \infty} {(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем степень $2$ в выражении ${(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} \frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} \frac{t}{t} + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} \frac{t}{t} + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

Этап 3.6.2

Перепишем это выражение.

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} 1 + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

Этап 3.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t})}^{2}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{t}$ стремится к $0$ .

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + 2 \cdot 0)}^{2}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}}$

Этап 5.1.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$24 - 16 \frac{1}{1^{2}}$

Этап 5.1.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$24 - 16 (\frac{1}{1})$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$24 - 16 (\frac{1}{1})$

Этап 5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$24 - 16 \cdot 1$

Этап 5.1.3

Умножим $- 16$ на $1$ .

$24 - 16$

Этап 5.2

Вычтем $16$ из $24$ .

$8$