Математический анализ Примеры

$lim_{y \to 0} \frac{\sin (3 y) \cot (5 y)}{y \cdot \cot (4 y)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $y$ к $0$ .

$\frac{lim_{y \to 0} \sin (3 y) \cot (5 y)}{lim_{y \to 0} y \cdot \cot (4 y)}$

Этап 2

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{y \to 0^{-}} \sin (3 y) \cot (5 y)$

Этап 3

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (3 y) \cot (5 y)$ , когда $y$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} y & \sin (3 y) \cot (5 y) \\ - 0.1 & 0.5409461 \\ - 0.01 & 0.59940999 \\ - 0.001 & 0.5999941 \\ - 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

Этап 4

Если значения $y$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.6$ . Таким образом, предел $\sin (3 y) \cot (5 y)$ , когда $y$ стремится к $0$ слева, равен $0.6$ .

$0.6$

Этап 5

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{y \to 0^{+}} \sin (3 y) \cot (5 y)$

Этап 6

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\sin (3 y) \cot (5 y)$ , когда $y$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} y & \sin (3 y) \cot (5 y) \\ 0.1 & 0.5409461 \\ 0.01 & 0.59940999 \\ 0.001 & 0.5999941 \\ 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

Этап 7

Если значения $y$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.6$ . Таким образом, предел $\sin (3 y) \cot (5 y)$ , когда $y$ стремится к $0$ справа, равен $0.6$ .

$\frac{0.6}{lim_{y \to 0} y \cdot \cot (4 y)}$

Этап 8

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{y \to 0^{-}} y \cdot \cot (4 y)$

Этап 9

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $y \cdot \cot (4 y)$ , когда $y$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} y & y \cdot \cot (4 y) \\ - 0.1 & 0.23652224 \\ - 0.01 & 0.24986665 \\ - 0.001 & 0.24999866 \end{array}$

Этап 10

Если значения $y$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.25$ . Таким образом, предел $y \cdot \cot (4 y)$ , когда $y$ стремится к $0$ слева, равен $0.25$ .

$0.25$

Этап 11

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{y \to 0^{+}} y \cdot \cot (4 y)$

Этап 12

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $y \cdot \cot (4 y)$ , когда $y$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} y & y \cdot \cot (4 y) \\ 0.1 & 0.23652224 \\ 0.01 & 0.24986665 \\ 0.001 & 0.24999866 \end{array}$

Этап 13

Если значения $y$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.25$ . Таким образом, предел $y \cdot \cot (4 y)$ , когда $y$ стремится к $0$ справа, равен $0.25$ .

$\frac{0.6}{0.25}$

Этап 14

Разделим $0.6$ на $0.25$ .

$2.4$