Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Вынесем степень $3$ в выражении ${(x - 1)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}^{3}}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Этап 1.1.3.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{{(x - 1)}^{3}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]}$

Этап 1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Этап 1.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}$

Этап 1.3.7

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1}$

Этап 1.3.8

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.5

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (3 {(x - 1)}^{2})}$

Этап 2

Так как числитель положителен, а знаменатель $x (3 {(x - 1)}^{2})$ стремится к нулю и больше нуля для $x$ около $1$ и справа, и слева, функция неограниченно растет.

$\infty$