Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x - 3}{4 x + 10}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Этап 2.1.1.2

Разделим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{- 3}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Этап 2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Этап 2.2.2

Разделим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{4 + \frac{10}{x}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x}}$

Этап 2.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x}}$

Этап 2.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

Этап 4.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 - 3 \cdot 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

Этап 4.3

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 - 3 \cdot 0}{4 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 5

$\frac{2 - 3 \cdot 0}{4 + 10 \cdot 0}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $2 - 3 \cdot 0$ и $4 + 10 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 0}{4 + 10 \cdot 0}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 \cdot 0$ .

$\frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)}{4 + 10 \cdot 0}$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)$ .

$\frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 0)}{4 + 10 \cdot 0}$

Этап 6.1.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)}{4 + 10 \cdot 0}$

Этап 6.1.5

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{4 + 10 \cdot 0}$

Этап 6.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 (2) + 10 \cdot 0}$

Этап 6.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $10 \cdot 0$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 (2) + 2 (5 \cdot 0)}$

Этап 6.1.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Этап 6.1.6.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Этап 6.1.6.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}{2 + 5 \cdot 0}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $0$ на $3$ .

$\frac{- 1 (- 1 + 0)}{2 + 5 \cdot 0}$

Этап 6.2.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Этап 6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{2 + 0}$

Этап 6.3.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$